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Soluzioni dei paradossi

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Soluzione Paradosso: Dimostriamo che: 1 = - 1

L'errore consiste nell'aver considerato il logaritmo d'un numero negativo.

Il logaritmo d'un numero qualsiasi, nel campo complesso, ha infiniti valori; solo se il numero è positivo uno dei valori del logaritmo è reale e noi abbiamo, in tutta la teoria sviluppata sui logaritmi, considerato sempre solo questo valore reale.

 

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Soluzione Paradosso: Tutti i numeri sono eguali!

L'errore consiste nel dividere entrambi i membri dell'eguaglianza per a – b – c che, essendo a – b = c, è eguale a 0; e dividere per 0 non ha senso.

 

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Soluzione Paradosso: Dimostriamo che 4 = 5

L'errore consiste nell'estrarre la radice quadrata dai due membri dell'eguaglianza, senza tener conto che questa ha due valori. Cioè dall'eguaglianza

non si può dedurre

Infatti, la prima eguaglianza equivale a:

da cui è evidente che non si può dedurre:

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Soluzione Paradosso: Dimostriamo che 3i = 3 e che quindi i numeri immaginati sono eguali ai numeri reali!

L'errore è nell'applicazione della proprietà invariantiva dei radicali, che è valida solo per i radicali aritmetici e quindi non per il radicale .

 

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Soluzione Paradosso: Dimostriamo  che – 1 = 1

L'errore è nell'applicazione della regola sul prodotto di due radicali (aventi lo stesso indice), che è valida solo per i radicali aritmetici e quindi non per il radicale .

 

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Soluzione Paradosso: Dimostriamo che 2 = 3

L'errore consiste nell'aver dedotto, dall'eguaglianza fra i quadrati di due numeri, l'eguaglianza fra i due numeri.

Deduzione esatta in Aritmetica con i numeri assoluti, ma non sempre in Algebra con i numeri relativi.

Dall'eguaglianza:

non si può dedurre:

Infatti, la prima eguaglianza equivale a

 

da cui è evidente che non si può dedurre

 

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Soluzione Paradosso: Dimostriamo che 1 = 2

L'errore consiste nel dividere entrambi i membri dell'eguaglianza per a - b che, essendo a=b, è eguale a 0; e dividere per 0 non ha senso.

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