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Paradossi matematici

Proponiamo diversi paradossi matematici con la relativa dimostrazione che ad uno sguardo veloce ( o ad una mente "poco matematica") farà sembrare tutto corretto eppure c'è sempre un errore... Divertitevi a leggere le dimostrazioni dei paradossi e a scoprire qual è l'errore, non occorre una conoscenza di "alto livello" della matematica ma bastano le semplici regole che si studiano a scuola!

 
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Paradosso: Dimostriamo che: 1 = - 1

Sia data l'eguaglianza:

(- 1)2 = 1

Prendendo i logaritmi dei due membri in una stessa base b, si ha:

2 logb (-1)= logb1

E poiché logb1 = 0

2 logb (- 1) = 0

E quindi:

logb (- 1) = 0

Cioè, per definizione di logaritmo:

b0 = - 1

E poiché b0 = 1

 1 = - 1

Dov'è l'errore?

Soluzione

 

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Paradosso: Tutti i numeri sono uguali!

Dati due numeri qualsiasi! a e b, dimostriamo che essi sono eguali! Indicando con c la loro differenza si ha:

a – b  = c

E moltiplicando entrambi i membri per a – b:

(a – b )2 = c(a – b)

a2 – 2ab + b2= ac – bc

Che si può anche scrivere:

a2 – ab – ab + b2= ac – bc

Da cui:

a2 – ab – ac = ab – b2 – bc

a(a – b – c ) = b(a – b –c )

E dividendo entrambi i membri per a – b – c:

a = b

Dov'è l'errore?

Soluzione

 

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Paradosso: Dimostriamo che 4 = 5

 Consideriamo l'evidente eguaglianza:

16 – 36  = 25 – 45

Essa si può anche scrivere:

Aggiungiamo ad entrambi i membri:

Ossia:

Da cui

4 = 5

Dov'è l'errore?

Soluzione

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Paradosso: Dimostriamo che 3i = 3 e che quindi i numeri immaginati sono uguali ai numeri reali!

Infatti, si ha:

3i = 3

e moltiplicando per 2 l'indice del radicale e l' esponente del radicando, si ha:

3i = 3 =  3=   3

Dov'è l'errore?

Soluzione

 

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Paradosso: Dimostriamo  che – 1 = 1

Infatti, consideriamo il prodotto  x

 Si ha che:

 x  =

Ossia:

=

Da cui

1  = 1 

Dov'è l'errore?

Soluzione

 

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Paradosso: Dimostriamo che 2=3

Consideriamo l'evidente eguaglianza:

4 - 10 = 9 - 15

Essa si può anche scrivere:

Aggiungendo  ad entrambi i membri si ha:

Ossia:

Da cui si ha:

E quindi

2=3

Dov'è l'errore ?

Soluzione

 

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Paradosso: Dimostriamo che 1 = 2

Consideriamo due numeri uguali a e b e quindi scriviamo:

a=b

Moltiplichiamo per a i due membri di quest'eguaglianza :

a2 = ab

E sottraendo b2 dai due membri, si ha:

a2 - b2= ab - b2

Ossia:

(a + b)(a - b) = b(a - b)

E dividendo entrambi i membri per a – b :

a + b = b

E sostituendo b ad a (poiché a=b) si ottiene:

b + b = b

Cioè:

2b = b

Da cui, dividendo entrambi i membri per b, si ricava:

2=1

Dov'è l'errore?

Soluzione

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