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Paradossi matematici
Proponiamo diversi paradossi matematici con la relativa dimostrazione che ad uno sguardo veloce ( o ad una mente "poco matematica") farà sembrare tutto corretto eppure c'è sempre un errore... Divertitevi a leggere le dimostrazioni dei paradossi e a scoprire qual è l'errore, non occorre una conoscenza di "alto livello" della matematica ma bastano le semplici regole che si studiano a scuola!
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Paradosso: Dimostriamo che: 1 = - 1 |
Sia data l'eguaglianza:
(- 1)2 = 1
Prendendo i logaritmi dei due membri in una stessa base b, si ha:
2 logb (-1)= logb1
E poiché logb1 = 0
2 logb (- 1) = 0
E quindi:
logb (- 1) = 0
Cioè, per definizione di logaritmo:
b0 = - 1
E poiché b0 = 1
1 = - 1
Dov'è l'errore?
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Paradosso: Tutti i numeri sono uguali! |
Dati due numeri qualsiasi! a e b, dimostriamo che essi sono eguali! Indicando con c la loro differenza si ha:
a – b = c
E moltiplicando entrambi i membri per a – b:
(a – b )2 = c(a – b)
a2 – 2ab + b2= ac – bc
Che si può anche scrivere:
a2 – ab – ab + b2= ac – bc
Da cui:
a2 – ab – ac = ab – b2 – bc
a(a – b – c ) = b(a – b –c )
E dividendo entrambi i membri per a – b – c:
a = b
Dov'è l'errore?
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Paradosso: Dimostriamo che 4 = 5 |
Consideriamo l'evidente eguaglianza:
16 – 36 = 25 – 45
Essa si può anche scrivere:
Aggiungiamo
ad entrambi i membri:
Ossia:
Da cui
4 = 5
Dov'è l'errore?
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Paradosso: Dimostriamo che 3i = 3 e che quindi i numeri immaginati sono uguali ai numeri reali! |
Infatti, si ha:
3i = 3
e moltiplicando per 2 l'indice del radicale e l' esponente del radicando, si ha:
3i = 3
= 3
= 3
Dov'è l'errore?
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Paradosso: Dimostriamo che – 1 = 1 |
Infatti, consideriamo il prodotto
x
Si ha che:
Ossia:
=
Da cui
– 1 = 1
Dov'è l'errore?
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Paradosso: Dimostriamo che 2=3 |
Consideriamo l'evidente eguaglianza:
4 - 10 = 9 - 15
Essa si può anche scrivere:
Aggiungendo
ad entrambi i membri si ha:
Ossia:
Da cui si ha:
E quindi
2=3
Dov'è l'errore ?
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Paradosso: Dimostriamo che 1 = 2 |
Consideriamo due numeri uguali a e b e quindi scriviamo:
a=b
Moltiplichiamo per a i due membri di quest'eguaglianza :
a2 = ab
E sottraendo b2 dai due membri, si ha:
a2 - b2= ab - b2
Ossia:
(a + b)(a - b) = b(a - b)
E dividendo entrambi i membri per a – b :
a + b = b
E sostituendo b ad a (poiché a=b) si ottiene:
b + b = b
Cioè:
2b = b
Da cui, dividendo entrambi i membri per b, si ricava:
2=1
Dov'è l'errore?
